高中物理解题(微元法)14页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法
微元法
方法简介
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法
可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵
循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的
数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，
从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲
例 1：如图 3—1 所示，一个身高为 h 的人在灯以悟空速度 v 沿水平直线行走。设灯距地面高
为 H，求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过 AB 处，再经过一微小过程
△t（△t→0），则人由 AB 到达 A′B′，人影顶端
C 点到达 C′点，由于△SAA′=v△t 则人影顶端的
移动速度
可见 vc与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶
端 C 点做匀速直线运动.
例 2：如图 3—2 所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球
面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A
端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位
长度的质量为ρ.试求铁链 A 端受的拉力 T.
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能
忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受
力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质
点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出
整条铁链的受力情况.
在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，
其受力分析如图 3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，
所以受力平衡，在切线方向上应满足：

hH
Hv
t
S
hH
H
t
S
v
AA
t
CC
t
C −
=
∆
∆
−=
∆
∆
=
′
→∆
′
→∆ 00
limlim
θθθ θ TGTT +∆=∆+ cos θρθθ coscos LgGT ∆=∆=∆

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大
△Tθ，所以整个铁链对 A 端的拉力是各段上△Tθ的和，
即
观察 的意义，见图 3—2—乙，由于△θ很小，
所以 CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表示△L 在竖直方向上的投影△R，
所以 可得铁链 A 端受的拉力
例 3：某行星围绕太阳 C 沿圆弧轨道运行，它的近日点
A 离太阳的距离为 a，行星经过近日点 A 时的速度为 ，
行星的远日点 B 离开太阳的距离为 b，如图 3—3 所示，
求它经过远日点 B 时的速度 的大小.
解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也
可根据开普勒第二定律，用微元法求解.
设行星在近日点 A 时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内
做匀速圆周运动，线速度为 ，半径为 a，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积
同理，设行星在经过远日点 B 时也运动了相同的极短时间△t，
则也有 由开普勒第二定律可知：Sa=Sb
即得 此题也可用对称法求解.
例 4：如图 3—4 所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，
立于船头的人质量为 m，船的质量为 M，不计水的阻力，
人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，
系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过
程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.
设 v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有
① 两边同时乘以一个极短的时间△t， 有 ②
由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，
所以人和船位移大小分别为 ，
由此将②式化为 ③
∑ ∑∑ ∆=∆=∆= θρθρθ coscos LgLgTT
θcosL∆
∑ =∆ RL θcos ∑ =∆= gRLgT ρθρ cos
Av
Bv
Av
atvS Aa ⋅∆= 2
1
btvS Bb ⋅∆= 2
1
AB vb
a
v =
21 Mvmv = tMvtmv ∆=∆ 21
tvs ∆=∆ 11 tvs ∆=∆ 22
21 sMsm ∆=∆

把所有的元位移分别相加有 ④
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