12.3 第2课时 角平分线的判定2-人教版数学八年级上册教学资源4页

第2课时 角平分线的判定 一、教学目标 （一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定.　 三、教法学法 自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程 （一） 复习、回顾 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB． 证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90 ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （二）合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON 即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） 【典型例题】 例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′； （2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）． 分析：由条件∠C＝∠C′＝90，AC＝AC′，可以把点A看作是 ∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知）， ∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′． （2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′， ∴180－（∠C＋∠ABC）＝180－（∠C′＋∠ABC′） 即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′， ∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段． 解：AP平分∠BAC． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上， ∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF． ∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． （三）巩固训练 （四）小结 请你说说本课的收获与困惑. （五）作业